MACHINE LEARNING EN FLOTACION

 

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En el código VBA programado, los gradientes de $�$ (peso) y $�$ (sesgo) para la función de pérdida se calculan usando la técnica de descenso del gradiente en el contexto de un problema de regresión lineal. La función de pérdida utilizada aquí es el Error Cuadrático Medio (ECM), una medida común para evaluar el rendimiento de modelos de regresión. El ECM se define como el promedio de los cuadrados de las diferencias entre los valores observados ($�$) y los predichos ($\widehat{�}$).

La función de pérdida (ECM) para un único punto de datos es: $\text{ECM}=(�-\widehat{�}{)}^2$ donde:

• $�$ es el valor real.
• $\widehat{�}=�\cdot �+�$ es la predicción del modelo.

Para minimizar la función de pérdida, queremos encontrar los valores de $�$ y $�$ que reduzcan el ECM total. Esto se hace a través del descenso del gradiente, un algoritmo de optimización que ajusta iterativamente $�$ y $�$ en la dirección que reduce el ECM.

La función de pérdida del Error Cuadrático Medio (ECM) en el contexto de un modelo de regresión lineal simple, donde $\widehat{�}=�\cdot �+�$. La función de pérdida para un punto de datos se define como:

$\text{ECM}=(�-\widehat{�}{)}^2=(�-(�\cdot �+�){)}^2$

Necesitamos calcular dos gradientes para este ECM:

1. Gradiente con respecto a $�$ ($\frac{\mathrm{\partial }\text{ECM}}{\mathrm{\partial }�}$): Este gradiente nos dice cómo la función de pérdida cambia con cambios en el peso $�$, manteniendo el sesgo $�$ constante.

2. Gradiente con respecto a $�$ ($\frac{\mathrm{\partial }\text{ECM}}{\mathrm{\partial }�}$): Este gradiente nos dice cómo la función de pérdida cambia con cambios en el sesgo $�$, manteniendo el peso $�$ constante.

1. Gradiente con respecto a $�$

Para encontrar este gradiente, aplicamos la regla de la cadena para la derivación de funciones compuestas:

$\frac{\mathrm{\partial }\text{ECM}}{\mathrm{\partial }�}=\frac{\mathrm{\partial }\text{ECM}}{\mathrm{\partial }\widehat{�}}\cdot \frac{\mathrm{\partial }\widehat{�}}{\mathrm{\partial }�}$

Donde:

• $\frac{\mathrm{\partial }\text{ECM}}{\mathrm{\partial }\widehat{�}}$ es la derivada de la función de pérdida respecto a la predicción $\widehat{�}$.
• $\frac{\mathrm{\partial }\widehat{�}}{\mathrm{\partial }�}$ es la derivada de la predicción $\widehat{�}$ respecto al peso $�$.

2. Gradiente con respecto a $�$

De manera similar, para encontrar el gradiente respecto a $�$:

$\frac{\mathrm{\partial }\text{ECM}}{\mathrm{\partial }�}=\frac{\mathrm{\partial }\text{ECM}}{\mathrm{\partial }\widehat{�}}\cdot \frac{\mathrm{\partial }\widehat{�}}{\mathrm{\partial }�}$

Ahora, calculemos estas derivadas paso a paso.

El cálculo de los gradientes para la función de pérdida del Error Cuadrático Medio (ECM) con respecto a $�$ y $�$ en un modelo de regresión lineal $\widehat{�}=�\cdot �+�$ es el siguiente:

1. Gradiente con respecto a $�$: $\frac{\mathrm{\partial }\text{ECM}}{\mathrm{\partial }�}=-2�(�-(��+�))$

2. Gradiente con respecto a $�$: $\frac{\mathrm{\partial }\text{ECM}}{\mathrm{\partial }�}=2(�+��-�)$

Sin embargo, parece haber un pequeño error en la simplificación del gradiente con respecto a $�$. La forma correcta, ajustando el signo para ser consistente con la convención y la explicación previa, debería ser: $\frac{\mathrm{\partial }\text{ECM}}{\mathrm{\partial }�}=-2(�-(��+�))$

Así que los gradientes finales, corregidos y simplificados, son:

• Para $�$: $-2�(�-\widehat{�})$, donde $\widehat{�}=��+�$.
• Para $�$: $-2(�-\widehat{�})$, donde $\widehat{�}=��+�$.

El algoritmo está disponible gratuitamente, y si desea el codigo senvie un email a los correos siguientes.

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